수학하면 생각나는 영화가 있다. 바로 <뷰티풀 마인드>다. 거기에서도 보이듯이 천재 수학자들은 조금 일반인들과 다른 구석(?)이 있다. 멘사 회원인 나도 같은 멘사 회원들 중에서 조금은 특이한(너무나 머리가 뛰어나서 일반인들과는 사뭇 다른 행동을 하는) 사람들을 봤었다.
나야 규정 시간 다 채우고 애매한 문제는 확실치 않은 답을 적었지만 그네들은 보자마자 정답을 바로 알아차려서 규정 시간의 반도 안 되는 시간에 만점을 받은 사람들이니... 뭐가 달라도 다른 뭔가가 있겠거니... 내가 힐버트의 기본문제라고 명명된 것을 보고서 마치 그들을 본 듯한 느낌이었다.
데이비드 힐버트: David Hilbert
프로이센 태생이니 다비트 힐베르트라고 읽어야 맞을 지 모르겠지만 영어식 발음으로 데이비드 힐버트라고 표기했다. 보기에도 똑부러지게 생겼다. 수학자라기 보다는 의사같아 보인다. 그가 1900년 파리에서 열린 국제 수학자 회의(International Congress of Mathmaticians)에서 23개의 수학 문제 목록을 제시했는데, 이게 바로 힐버트의 기본문제라 불리는 문제들이다.
원래 초안에는 24문제였다고 하는데, 그 중에 한 문제는 최종 발표할 때는 빼서 23문제로 발표했다고 한다. 그가 그 당시에 얘기한 파리 강의록을 보면, 수학이라는 자연과학이 다른 학문의 기초가 된다는 데에는 충분히 일리가 있는 듯 하다.
* 참조 : 힐버트 1900년 파리 강의록
힐버트의 기본문제: Hilbert's Problems
뭘 기본문제라고 하는 지는 모르겠지만 뭔 소린지 하나도 모르겠다. ^^ 나름 한 때는 수학경시대회 전국 대회도 나가본 경험이 있는 나이지만 원래 우리 나라 교육이 대학 졸업하면 말짱 도루묵인지라. ^^ 아 참 나는 대학 졸업도 못했지? 어쨌든 어려워뵌다. ^^
근데 왜 기본문제라고 그랬을까? 영문으로는 그냥 Problems라고 되어 있는데... Basic이라는 단어는 눈씻고 찾아볼 수도 없을 뿐더러 Problems를 꾸며주는 관형사는 없는데... 왜 기본문제라고 한겨? 아... 영어지. 관형사가 아니라 형용사.
| Problem | Brief explanation | Status |
|---|---|---|
| 1st | The continuum hypothesis (that is, there is no set whose size is strictly between that of the integers and that of the real numbers) | Proven to be impossible to prove or disprove within the Zermelo-Frankel set theory with or without the Axiom of Choice. There is no consensus on whether this is a solution to the problem. |
| 2nd | Prove that the axioms of arithmetic are consistent. | There is no consensus on whether results of Gödel and Gentzen give a solution to the problem as stated by Hilbert. Gödel's second incompleteness theorem, proved in 1931, shows that no proof of its consistency can be carried out within arithmetic itself. Gentzen proved in 1936 that the consistency of arithmetic follows from the well-foundedness of the ordinal ε0. |
| 3rd | Given any two polyhedra of equal volume, is it always possible to cut the first into finitely many polyhedral pieces which can be reassembled to yield the second? | Resolved. Result: no, proved using Dehn invariants. |
| 4th | Construct all metrics where lines are geodesics. | Too vague[12] to be stated resolved or not. |
| 5th | Are continuous groups automatically differential groups? | Resolved by Andrew Gleason, depending on how the original statement is interpreted. If, however, it is understood as an equivalent of the Hilbert-Smith conjecture, it is still unsolved. |
| 6th | Axiomatize all of physics | Unresolved. |
| 7th | Is a b transcendental, for algebraic a ≠ 0,1 and irrational algebraic b ? | Resolved. Result: yes, illustrated by Gelfond's theorem or the Gelfond-Schneider theorem. |
| 8th | The Riemann hypothesis (the real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is ½) and Goldbach's conjecture (every even number greater than 2 can be written as the sum of two prime numbers). | Unresolved. |
| 9th | Find most general law of the reciprocity theorem in any algebraic number field | Partially resolved.[13] |
| 10th | Find an algorithm to determine whether a given polynomial Diophantine equation with integer coefficients has an integer solution. | Resolved. Result: no, Matiyasevich's theorem implies that there is no such algorithm. |
| 11th | Solving quadratic forms with algebraic numerical coefficients. | Partially resolved. |
| 12th | Extend the Kronecker–Weber theorem on abelian extensions of the rational numbers to any base number field. | Unresolved. |
| 13th | Solve all 7-th degree equations using functions of two parameters. | A variant of this problem, looking for a solution within the universe of continuous functions, was solved (negatively) by Andrei Kolmogorov and Vladimir Arnold. It is not difficult to show that the problem has a positive solution within the space of single-valued analytic functions (Raudenbush). Some authors argue that Hilbert intended for a solution within the space of (multi-valued) algebraic functions, thus continuing his own work on algebraic functions and being a question about a possible extension of the Galois theory (see, for example, Abyankar [14], Vitushkin [15], Chebotarev [16] and others). It appears from one of the Hilbert's papers [17] that this was the his original intention for the problem. As such, the problem is still unresolved. |
| 14th | Proof of the finiteness of certain complete systems of functions. | Resolved. Result: no, generally, due to counterexample made by Masayoshi Nagata. |
| 15th | Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus. | Partially resolved. |
| 16th | Topology of algebraic curves and surfaces. | Unresolved. |
| 17th | Expression of definite rational function as quotient of sums of squares | Resolved. Result: An upper limit was established for the number of square terms necessary. |
| 18th | Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What is the densest sphere packing? | Resolved.[18] |
| 19th | Are the solutions of Lagrangians always analytic? | Resolved. Result: yes, proven by Ennio de Giorgi and, independently and using different methods, by John Forbes Nash. |
| 20th | Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions? | Resolved. A significant area of research throughout the 20th century, culminating in solutions for the non-linear case. |
| 21st | Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group | Resolved. Result: Yes or no, depending on more exact formulations of the problem. |
| 22nd | Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions | Resolved. |
| 23rd | Further development of the calculus of variations | Resolved. |
아직도 풀리지 않은 문제들
얼마나 어려운 문제인지 아직도 풀리지 않은 문제들이 있다고 한다. 위의 도표가 힐버트가 제시한 23문제인데 그 중에서 6번, 8번, 16번이 아직 미해결되었다고... 근데 위의 도표는 위키피디아에서 가져온 것인데 아래 도표만 보면 12번도 Unsolved라고 되어 있다.
2003년 11월 27일 영국 BBC 인터넷판의 보도에 따르면, 16번 문제의 일부를 스웨덴의 한 여대생이 풀었다고 보도했는데, 1달 뒤에 논문에 문제가 있다고 그 여대생의 지도교수가 확인했다고 한다. 근데 처음에 보도될 때 내용이 좀 웃긴다. "몇 달 간 이 문제를 생각하다가 갑자기 해법이 생각나 몇 시간 만 에 문제를 풀었다." 인터뷰를 한 모양이다. ㅋㅋㅋ 쪽팔리겠어~
참조할 만한 책
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과학혁명의 지배자들 에른스트 페터 피셔 지음, 이민수 옮김/양문 5부에 일부 언급된 모양이다. |
